ค่าสัมบูรณ์

​

นิยาม

นิยามได้ดังนี้: สำหรับจำนวนจริงใดๆ a, ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วย |a| เท่ากับ a ถ้า a ≥ 0 และเท่ากับ −a ถ้า a < 0 (ดูเพิ่มเติม: อสมการ) |a| จะไม่เป็นจำนวนลบ ค่าสัมบูรณ์จะเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ นั่นคือจะไม่มีค่า a ที่ |a| < 0

ค่าสัมบูรณ์สามารถถือว่าเป็นระยะทางของจำนวนนั้นจากศูนย์ สัญกรณ์ของระยะทางในคณิตศาสตร์มักเขียนในรูปค่าสัมบูรณ์อยู่เสมอ เมื่อจำนวนจริงถูกพิจารณาเหมือนเป็นเวกเตอร์หนึ่งมิติ ค่าสัมบูรณ์คือขนาด และ p-นอร์มสำหรับ p ใดๆ ที่ตัวประกอบคงที่ ทุกๆนอร์มใน R1 จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์: ||x||=||1||.|x|

สมบัติ

ค่าสัมบูรณ์มีสมบัติดังนี้

1. |a| ≥ 0

2. |a| = 0 ก็ต่อเมื่อ a = 0.

3. |ab| = |a||b|

4. |a/b| = |a| / |b| (ถ้า b ≠ 0)

5. |a+b| ≤ |a| + |b| (อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม)

6. |a−b| ≥ ||a| − |b||

7. | a | = a 2 {\displaystyle \left|a\right|={\sqrt {a^{2}}}}

8. |a| ≤ b ก็ต่อเมื่อ −b ≤ a ≤ b

9. |a| ≥ b ก็ต่อเมื่อ a ≤ −b หรือ b ≤ a

คุณสมบัติสองอันสุดท้าย ใช้ในการแก้อสมการอยู่เสมอ

​